关键词：凑微分法　第二换元法　同一性　差异性

摘　要：论文讨论了不定积分两种换元法的同一性和差异性。通过对比它们的同一性和差异性，给出了教与学过程中需要注意的一些细节，以便高效、准确地把握换元法的思想和解题技巧。

一、换元法的介绍
不定积分的求解主要依赖于两种积分方法——换元法和分部积分法，换元法又包括第一换元法（凑微分法）和第二换元法两种，这些内容在众多关于微积分的教材文献中都会作介绍。在目前使用最广泛的同济版《高等数学》教材上，关于换元法有如下定理。
定理1[1]：设f（u）具有原函数F（u），u=（x）可导，那么F（（x））是f（（x））′（x）的原函数，即有换元公式：
∫f（（u））′（u）du=F（（u））+C=（∫f（u）du）u=（x）　　　　　　　 (1)
定理2[1]：设函数x=Ψ（t）是单调的、可导的函数，并且Ψ′（t）≠0。又设f（（t））′（t）具有原函数Φ（t），则Φ(Ψ-1（x）)是f（x）的原函数（其中Ψ-1（x）是x=Ψ（t）的反函数），即有换元公式：
∫f（x）dx=Φ（Ψ-1（x））+C=（∫f(Ψ（t））Ψ′（t）dt）t=Ψ　　　　 (2)
它们分别给出了凑微分法和第二换元法的使用方法。
二、两种换元法的同一性
首先，我们稍作注意，就会发现一个很重要的结论：两种换元法本质上采用的是同一个公式。
∫f（（u））′（u）du =∫f（x）dx　　(3)
其中凑微分法是将公式从左向右使用，而第二换元法则是从右向左使用。

另一方面，进一步思考，我们发现，凑微分法和换元法虽然采用的同一个公式，并且使用方式完全相反，但是基本思想却是统一的，即为了将被积函数尽可能变得简单，以便使用积分公式求出最终的原函数。
三、两种换元法的不同
1、凑微分法的特点
第一，凑微分法使用公式(3)是从左向右进行变换，这种变换方式比较易于理解，也较容易使学生掌握其本质方法。
第二，凑微分法的关键部分在于准确找到凑微分的对象。因此，在这里介绍时只要学生正确把握复合函数的结构，凑微分就比较容易求解。
2、第二换元法的特点
第二换元法是反向使用公式(3)，此处关键的步骤在于“置身事外”。
虽然两种换元法都是为了将被积函数化简单，但是第二换元法本身的应用不是拘泥于函数本身的化简，而是从“旁观者”的角度来理解简单。即对于被积函数中比较复杂而不容易化简的部分，尽可能“消灭”它，采用各种方法将这部分变得简单，而不是一定要拘泥于公式中那样去找复合结构。
四、讲授比较
首先，由于换元法的根本是复合函数的微分运算规则，在学习这部分内容时如果学生对复合函数能比较熟悉，则学习过程会简单很多。这一点从笔者在多次讲授时从复合函数引入换元法基本公式(3)的效果感觉非常明显。
其次，凑微分法的关键步骤在于找到需要凑出来的微分部分，在这部分学习时以公式(3)作为出发点，着重理解复合函数结构，将会起到事半功倍的效果。
第三，由于第二换元法较凑微分法要复杂，因此，第二换元法（尤其是三角函数换元）的学习是初次学习的难点。这里需要让学生“部分地”撇开公式(3)，认清换元的目的，则学习时将会更加有目的性，掌握起来也要容易得多。
参考文献
[1]同济大学数学教研室，高等数学（第二版）（上册），北京：高等教育出版社，1982.5。
[2]候风波，应用数学（理工类），北京：科学出版社，2007.9。
[3]陶筱平等，应用高等数学，北京：北京工业大学出版社，2010.8。
[4]吴良大，高等数学教程，北京：清华大学出版社，2007.7。
[5]萧树铁 扈志明，微积分（上）（修订版），北京：清华大学出版社，2008.4。