关键词：层次分析法   网络分析法   群组决策
内容摘要：论文介绍和讨论了网络分析法(ANP)。对反馈结构的几种典型超矩阵及其极限排序向量进行分析，并对循环系统提出了计算极限相对排序向量的简单而可行的方法。最后讨论信息不完备群组决策问题的ANP方法。
◆ 中图分类号：F127   文献标识码：A
        依据ANP理论，在进行决策分析时，需要决策者对每个因素（影响因子）进行两两相对重要程度的判定。在实际生活中，决策者常常不是对所有的决策因素（影响因子）进行相对重要程度判断，而是根据自己的情况（知识、经验、喜好）对某几个因素（影响因子）进行相对重要程度判断，此时，两两判断矩阵就会出现一些空缺，我们称这种情况为信息不完备。为此，运用ANP进行分析，通过将问题化为一种二次规划问题来计算出权重，最后运用ANP的极限超矩阵得到总排序。
       
        网络分析法（ANP）
       
        （一）ANP结构分析
        ANP首先将系统元素划分为两大部分（见图1），第一部分称为控制因素层，包括问题目标及决策准则。所有的决策准则均被认为是彼此独立的，且只受目标元素支配。控制因素中可以没有决策准则，但至少有一个目标。第二部分为网络层，它是由所有受控制层支配的元素组组成的，其内部是互相影响的网络结构。
        （二）优势度
        AHP的一个重要步骤就是在一个准则下，受支配元素进行两两比较，由此获得判断矩阵，但在ANP中被比较元素之间可能不是独立的，而是相互依存的，因而这种比较将以两种方式进行：第一，直接优势度。给定一个准则，两元素对于该准则的重要程度进行比较；第二，间接优势度。给出一个准则，两个元素在准则下对第三个元素的影响程度进行比较。
        （三） ANP结构的超矩阵与加权超矩阵
        设ANP的控制层中有元素p1，…，pn，控制层下，网络层有元素组C1，…，CN，其中Ci中有元素ei1，…，eini，i=1，…，N。以控制层元素ps（s=1，…，m）为准则，以Cj中元素ejl （l=1，…，nj）为次准则，元素组Cj中元素按其对ejl的影响力大小进行间接优势度比较，[本文来自论文之家:www.papershome.com,转载请保留此标记]即构造判断矩阵，归一化特征向量wi1jl，wi2jl…winijl，并由特征根法得排序向量（wi1(jl )…winijl）′（l=1，…，n），记为Wij。
        这里Wij的列向量就是Ci中元素ei1，ei2，…eini对Cj中元素eji，…，ejnj的影响程度排序向量。若Cj中元素不受Ci中元素影响，则Wij=0。这样最终可获得判断矩阵，超矩阵W=Wij（i，j=1，…，N），这样的超矩阵共有m个，它们都是非负矩阵，超矩阵的子块Wij是列归一化的，但W却不是列归一化的。为此以判断矩阵为准则，对下判断矩阵各组元素对准则Cj（j=1，…，N）的重要性进行比较。
        判断矩阵与Cj无关的元素组对应的排序向量分量为零，由此得加权矩阵A，归一化特征向量（排序向量） a1j，…aNj。对超矩阵W的元素加权，得，其中：aijWij（i=1，…，N，j=1，…，N），就为加权超矩阵，其列和为1，称为列随机矩阵。为简单起见以下的超矩阵都是加权超矩阵，并仍用符号W表示。
        （四）极限相对排序向量
        设（加权）超矩阵W的元素为wij，则wij的大小反映了元素i对元素j的一步优势度。i对j的优势度还可用wikwkj得到，称为二步优势度，它就是W 2的元素。W 2仍是列归一化的，当W∞=W t存在时，W∞的第j列就是判断矩阵网络层中各元素对于元素j的极限相对排序向量。
        （五）W∞的存在性讨论
        定理1：设A为n阶非负矩阵，λmax为其模最大特征值，则有：
        推论：列随机矩阵的模最大特征值为1。
        定理2：设非负列随机矩阵A的最大特征值1是单根，其它特征值的模均小于1，则A∞存在，且A∞的各列都相同，都是A的属于1的归一化特征向量。当超矩阵W满足定理2条件时，只要用幂法求出W的特征值1对应的特征向量，就可求得W∞，即其每一列均为极限相对排序向量。
        定理3：设W是非负不可约列随机矩阵，则W∞=Wk存在的充分必要条件是W是素阵。
        （六）ANP主要结构的超矩阵类型及其极限相对排序向量
        内部独立的递阶层次结构。可把目标层C1看作既属于控制层又属于网络层元素C1（见图2）下超矩阵为W，其对角线元素为0，…，T，且其子块Wii-1（i=2，…，N）都是素阵，但W非素且可约，其特征值有0和1，1的重数为被择元个数n，且：
          （1）
        且WN=WN-1，即WWN-1=WN-1，故
        W N-1的每一列均是1对应的特征向量，其中第一列元素WNN-1…W21就是被择元素对目标层元素C1的排序向量。
        内部依存的递阶层次结构。其结构如图3所示，控制层C1仍作为网络层的一部分。其超矩阵为W是非素可约阵。
        定理4：在内部依存的递阶层次结构超矩阵中，若WNN是常态的，即除1外没有其它模为1的特征值，那么WNN∞=W kNN存在，且有W∞，这里D1=D2W21（I-W11）-1，
        Di=Di+1Wi+1,i（I-Wii）-1，DN-1=DNWNN-1（I-
        WN-1N-1）-1 ，DN=WNN∞，D1就是系统元素对C1的排序向量。特别当W11=…=WN-1N-1=0，而WNN=I时，所得结果即为最初的结果。
        内部独立的循环系统超矩阵。系统结构如图4所示，其超矩阵W是不可约非素矩阵，最大特征值λ=1是单根，但除1外还有其它模为1的特征根，并且有性质W N=diag（V1，V2，…，VN），W kN=diag（V1k，V2k，…，VNk）其中V1=WNWN-1…W1，V2=W1WN…W2，…，VN=WN-1WN-2…W1WN。W，W 2，…，W N互异，W称为循环矩阵，其循环周期为N。V1…VN均为素阵，故Vi∞（i=1，2，…，N）存在，且(W N)∞=diag（V1&